1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1 第一章《空间向量与立体几何》 人教A版2019选择性必修第一册 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时） 教学目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题； 2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用； 3.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决； 4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养. 环节一：创设情境，引入课题 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 问题1:立体几何中有哪些距离问题？ 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等 环节二：观察分析，感知概念 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线l的距离． 问题2:己知一条直线l和直线l外一点P,求点Р到直线l的距离. 追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？ A P Q l A P Q l 环节三：抽象概括，形成概念 A P Q l 追问⒉:作出点Р到直线l的距离PQ,向量 与点Р到直线l的距离PQ之间有什么关系? A P Q l 思考 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 追问3:你能借助图形,用向量方法求出点Р到直线l的距离吗? A P Q l 环节四：辨析理解，深化概念 问题4:类似于点到直线的距离,如何求平面α外一点Р到平面α的距离? A P Q l 环节四：辨析理解，深化概念 A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 环节五：课堂练习，巩固运用 分析：根据条件建立空间直角坐标系， 用坐标表示相关的点、 直线的方向向量和平面的法向量， 再利用有关公式， 通过坐标运算得出相应的距离． A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 z A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似， 我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 环节六:归纳总结，反思提升 问题7:回顾这节课的学习,我们学习了哪些内容? 用的是什么方法? 1. 知识总结： 2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” A C B D A1 B1 C1 D1 练习（第35页） 1 1 1 环节七：目标检测，作业布置 A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 E F x y z A C B D A1 B1 C1 D1 x y z A C B D A1 B1 C1 D1 x y z A C B D A1 B1 C1 D1 A B C D M N 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题． 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC， AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． A B C D M N 解：化为向量问题 A B C D M N 进行向量运算 $