1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时） 导学案 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题； 2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用； 3.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决； 4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养. 重点难点 1. 重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示. 2. 难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的距离之间的相互转化. 课前预习 自主梳理 知识点一　点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量，则向量在直线上的投影向量，则点P到直线l的距离 知识点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．因此 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离．(　　) (2)直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．(　　) (3)两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．(　　) (4)任意一条直线与任意一个平面都有距离．(　　) 2.直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一：创设情境，引入课题 导入问题：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 前面，我们通过直线的方向向量、平面的法向量，运用向量的线性运算、数量积运算等研究了直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的位置关系.下面我们继续用向量方法研究立体几何中的距离和角度等度量问题，进一步体会解决立体几何中有关问题的向量方法. 与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究？ 问题1:立体几何中有哪些距离问题？ 追问：你认为可以如何研究这些距离问题？ 下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线的距离． 环节二：观察分析，感知概念 问题2：已知一条直线和直线外一点P,求点P到直线的距离. 追问1：问题中有哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？ 探究 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点．如何利用这些条件求点到直线的距离? 如图1.4-16，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形． 追问2:作出点到直线的距离,向量与点到直线的距离之间有什么关系? 师生活动:学生自主探究,得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系,得到Rt. 因为，都是定点，所以，与的夹角都是确定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出点到直线的距离． 师生活动:教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点和点构成向量,建立点与直线的关联;直线由一个点和一个方向向量确定,可以取单位方向向量表示直线的方向向量. 设，则向量在直线上的投影向量． 环节三：抽象概括，形成概念 追问3:你能借助图形,用向量方法求出点到直线的距离吗? 在中，由勾股定理，得 思考 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 类比探究,推导点到平面的距离公式 环节四：辨析理解，深化概念 问题4:类似于点到直线的距离,如何求平面外一点到平面的距离? 我们再来看平面外一点到平面的距离问题． 如图1.4-17，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点． 追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定,确定一个平面的条件是什么? 师生活动:由学生回答. 追问2:你能类比求点到直线的距离的方法,利用向量投影求出点到平面的距离吗? 第一步,确定平面的法向量; 第二步,选择“参考向量”; 第三步,确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 第四步,求投影向量的模长,得到 问题5:如何求平行于平面的直线到平面的距离?两个平行平面之间的距离呢? 环节五：课堂练习，巩固运用 例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直