第三章圆锥曲线与方程 知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第一册 第三章知识点清单 目录 第三章　圆锥曲线与方程 3. 1 椭圆 3. 2 双曲线 3. 3 抛物线 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第三章　圆锥曲线与方程 3. 1 椭圆 3. 1. 1　椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 　　平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 二、椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2=b2+c2 三、点与椭圆的位置关系 　　点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系： (1)点P在椭圆上⇔+=1； (2)点P在椭圆内部⇔+<1； (3)点P在椭圆外部⇔+>1. 2 / 2 四、直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆位置关系的判断 一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆+=1(a>b>0)的方程， 得整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 2. 弦长公式 设直线l：y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1P2=|x1-x2|=· 或P1P2=|y1-y2|=· (k≠0). 五、椭圆标准方程的求解 1. 定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2. 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)求椭圆的标准方程，一般是先“定性”，即判断焦点所在的坐标轴，再“定量”，即确定a，b的值. (2)求a，b的值，一方面可利用条件直接求出，另一方面可用待定系数法设出相应的标准方程，然后计算. 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 六、椭圆中焦点三角形问题  1. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解. 2. 焦点三角形的常用结论： ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可知F1=P+P-2PF1·PF2·cos∠F1PF2. ③设P(xP，yP)，则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|=PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan. 七、直线与椭圆的相交弦问题 1. 求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程，消元，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据弦长公式AB=|x1-x2| ，结合根与系数的关系求弦长. 2. 与椭圆中点弦有关的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去x(或y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程：利用弦的端点在椭圆上，端点坐标满足椭圆方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和直线斜率的关系，即若椭圆方程为+=1(a>b>0)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，且弦AB 的中点为M(x，y)，则 ①-②，整理得a2(-)+b2(-)=0，所以=-·=-·. 　　这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程：设椭圆+=1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B