第五章导数及其应用知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第一册 第五章知识点清单 目录 第5章　导数及其应用 5. 1 导数的概念 5. 2 导数的运算 5. 3 导数在研究函数中的应用 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第5章　导数及其应用 5. 1 导数的概念 一、平均变化率 1. 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 二、曲线上一点处的切线 1. 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C. 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线.   三、 瞬时速度与瞬时加速度 1. 瞬时速度　　 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 2. 瞬时加速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率. 2 / 2 四、瞬时变化率——导数 1. 函数在一点处的导数 设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值 =无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f '(x0). 通常又可表示为f '(x0)= . 函数y=f(x)在x=x0处的导数还可以记作y'. 2. 导数的几何意义 导数f '(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线的斜率. 3. 导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f '(x). f(x)在x=x0处的导数f '(x0)就是导函数f '(x)在x=x0处的函数值. 在不引起混淆时，导函数f '(x)也简称为f(x)的导数. 五、平均变化率与瞬时变化率  1. 平均变化率：对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变化到x1的过程中，若设Δx=x1-x0，Δy=f(x1)-f(x0)，则称=为函数f(x)在点x0附近的平均变化率. 2. 瞬时变化率：在上述过程中，当Δx无限趋近于0，即x1无限趋近于x0时，称 =为f(x)在x=x0处的瞬时变化率. 3. 平均变化率与瞬时变化率是两个不同的概念，但可以用平均变化率的值来估算瞬时变化率的值，当Δx无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数即为瞬时变化率. 六、求函数在某点处的导数 1. 导数定义的等价形式 　    y'=； 　    y'=； 　    y'=. 　　注意自变量之差与函数值之差要相互对应. 2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)； (2)求平均变化率： =； (3)取极限，得导数：f'(x0)= . 七、求曲线的切线方程 1. 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程 (1)点P(x0， f(x0))为切点； (2)切线斜率k=f'(x0)； (3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 2. 曲线y=f(x)过点P(x0， f(x0))的切线方程 (1)点P可能是切点，也可能不是切点； (2)如果点P不是切点，则切线可能不止一条，切线条数与切点个数有关，此时求切线方程的一般步骤如下： ①设出切点(x1， f(x1))； ②求出函数f(x)在点(x1， f(x1))处的导数f'(x1)； ③写出切线方程：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，将(x0，f(x0))代入，求得x1； ④将x1代入切线方程，化简得到最终方程. 3. 注意 (1)直线l与曲线C有唯一公共点时，直线l不一定是曲线的切线，如图中的直线l1. (2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时，直线l也可能是曲线C的切线，如图中的直线l2，其中N是切点.