专题1.4 用空间向量研究距离、夹角问题（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题1.4用空间向量研究距离、夹角问题 知识点1 空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 重难点1点到直线的距离 1．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 2．空间中有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥，其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且，则的重心G到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为_____. 6．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：_____. 7．已知长方体中，，圆内切上底面正方形， 为圆上的动点． (1)求点到直线的距离； (2)求的取值范围． 重难点2点到平面的距离 8．在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_____. 10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：    (1)直线的一个方向向量； (2)点到平面的距离． 11．在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为_____． 12．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O． (1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离． 13．如图，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 14．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，. (1)求证：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 重难点3直线（或平面）到平面的距离 15．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A． B． C． D． 16．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A． B． C． D． 17．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_____． 18．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 19．已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 知识点2 空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 重难点4异面直线所成的角 20．直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 21．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 23．已知，是异面直线，，，，，且，，则与所成的角是（    ） A． B． C． D． 24．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为 _____． 25．已知长方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，记直线的夹角为，直线的夹角为，直线的夹角为，则之间的大小关系为_____．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）