22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 22.1.2 二次函数y＝ax2 的图象与性质 知识点一 二次函数y＝ax2图象的画法 ◆1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 【注意】在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． ◆2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 知识点二 二次函数y＝ax2的图象和性质 ◆1、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ◆2、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 题型一 二次函数y＝ax2的图象 【例题1】二次函数y＝x2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解题技巧提炼 1、列表取点方法：列表时一般以（0,0）为中心，在其左右两侧各取两组或三组对称的整数点，然后描点，我们形象地称其为“五点法”或“七点法”. 2、二次函数y＝ax2 的图象是抛物线 ，它的对称轴是y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线的顶点是原点，是抛物线的最低点或最高点. 【变式1-1】在同一坐标系中，作y＝x2，yx2，yx2的图象，它们的共同特点是（　　） A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 【变式1-2】如图为二次函数y＝x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝2x2和yx2的图象，并回答下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 　　 　　 　　 　　 　　 … yx2 … 　　 　　 　　 　 　　 … （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是 　 　.开口向 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　.在对称轴的左侧，y随x的增大而 　 　；在对称轴的右侧，y随x的增大而 　 　.当x＝　 　时，y有最 　 　值为 　 　． （2）如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越 　 　（填“大“或“小“）． 【变式1-3】已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m） （1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求m的值； （3）画出该函数的图象，并说明增减性； （4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0． 题型二 二次函数y＝ax2的性质 【例题2】抛物线y＝ax2与y＝3x2的形状相同，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. 当a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小； x>O时，函数值y随x的增大而增大； 当a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大； x>