2023年九年级数学中考复习动点最值问题—费马点模型

费马点模型 费马点--就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。 三点共线必旋转 问题提出：如图在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值。当PA+PB+PC的值最小时，求此时∠APB、∠APC与∠BPC的度数。 将BP绕点B逆时针旋转60°，点P对应点为，将BA绕点B逆时针旋转60°，点A对应点为,易得△BPA≌△BP´A´，因为∠P´BP=∠A´BA=60°，所以BP=P´P，PA=P´A´，所以求PA+PB+PC的最小值问题即转化为求P´A´+P´P+PC的最小值问题，因为A´与C为定点，所以A´C即为PA+PB+PC的最小值。易得∠A´P´B=BPC=120°，即∠APB=∠APC=∠BPC=120°。 【典题探究】 中考真题1: 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长. 中考真题2: 若点P为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC 的费马点. (1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为 . (2)如图所示，在锐角三角形△ABC的外侧作等边△ACB，连接BB，求证:BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PCB′ C B A 【真题演练】 1. (2019·锡山区校级二模)如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为( ) A. B. C. D.10 2. (2021·滨州)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2.若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC 的最小值为 . 3. (2021·淄博)两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形 ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是 . 4. (2021·丹东)已知到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点。如果△ABC 是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.(例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点). (1).若AB=AC=，BC=，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ; (2).若AB=，BC=2，AC=4，P为△ABC 的费马点，则 PA+PB+PC= . 5. (2019·武汉)问题背景:如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=.点是△MNG内一点，则点到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 . 6. (2019秋·梁溪区期末)如图，已知正方形 ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，则这个正方形的边长为 . 7. (2020·荷塘区模拟)在ABC 中，若其内部的点 P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC 的费马点。如冬所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA=45°，PA=4，则△PAC 的面积为 . 8. (2020·武汉期末)已知，在△ABC中，∠ACB=30° (1)如图1，当AB=AC=2，求BC的值; (2) 如图2，当AB=AC，点P是△ABC 内一点，且PA=2，PB=，PC=3，求∠APC 的度数; (3)如图3，当AC=4，AB=(CB>CA)，点P是△ ABC 内一动点，则 PA+PB+PC的最小值为 · 9. (2022 福建一模)方形中的费马点最值问题如图，点P是正方形 ABCD 内一点，并延长 AP 与DC 相交于点 Q. (1) 若PA=，PB=3，PD=，求∠DPQ 的大小; (2) 若 PA+PB+PD 的最小值为，请直接写出正方形 ABCD 的边长. 10. (2020·重庆)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点A逆时针旋转 90°，得到 AE，连接CE，DE.点F是DE 的中点，连接 CF. (1)求证:CF=AD; (2)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长 CF，BA，相交于点G，猜想 AG与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使 PA+PB+PC的值最小.当 PA+PB+