10.3 直线与平面间的关系（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.3直线与平面间的关系（第2课时） 10.3.2-10.3.3直线与平面垂直 直线与平面所成的角 第10章 空间直线与平面 教师 xxx 沪教版（2020） 必修第三册 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 01 03 02 04 CONTANTS 目 录 直线与平面垂直的定义 01 直线在平面内： 直线在平面外： 线面相交： 线面平行： 没有公共点 有且只有一个公共点 有无数公共点. 空间中直线与平面的位置关系 斜交 垂直 探究1：观察下列几幅图片，其中体现的是什么线面关系？ 问题1：如何定义一条直线与一个平面垂直？ 类比线面平行——空间问题平面化 追问：能否用一条直线垂直于一个平面内直线，来定义这条直线与这个平 面垂直呢？ 直线与平面垂直 旗杆与影子 A B 通过旗杆与它在地面上影子的关系，可以发现 内经过点的直线 所在直线 内不经过点的直线 所在直线 综上所述，即 内任意一条的直线 所在直线 注意 1.上述定义可简记为“线线垂直线面垂直” 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面互相垂直，记作. 直线叫做平面的垂线； 平面叫做直线的垂面； 直线与平面垂直时，唯一的公共点叫做垂足。 直线与平面垂直的定义 2.定义中的“任意一条直线”与“每一条直线”、“所有直线”等效， 但不能换为“无数条” 理解1：一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于平面内的任何一条直线。（线面垂直⇒线线垂直） 理解2：如果平面内有一条直线与已知直线不垂直，则线面不垂直。(比萨斜塔) 问题2： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论 推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 直线与平面垂直的判定 02 问题3 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后竖放在桌面上（BD，DC与桌面接触）． (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面a垂直． A B D C C C C 当折痕AD⊥BC且翻折后BD与CD不在一条直线上时， 折痕AD与桌面所在的平面垂直. C A B D C 线面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. ①符号语言： ②本质：线线垂直→线面垂直 ③关键：证两次线线垂直 m n P ④推论：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面. 即： m n 1.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形， SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB. [练习1]三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC. A B C V · D 取AC的中点D 连接VD,BD. 2.如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD中, 当底面四边形ABCD满足条件__________时，BD⊥AC. A B C D A B C D BA=BC且DA=DC AC⊥BD 3. 过△ABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α, 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, 则O是△ABC的 心. (2) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则O是AB的 点. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则O是△ABC的 心. A B C P O a ∵PO⊥α，∴∠POA=∠POB=∠POC=90, 又 PA=PB=PC, ∴△POA≌△POB≌△POC, 得OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心. 外 中 (3)PA⊥PB, PA⊥PC, 得 PA⊥平面PBC, ∴PA⊥BC. 由PO⊥α得PO⊥BC, 得BC⊥平面POA, ∴BC⊥AO. 同理可得AB⊥CO,∴O 为△ABC的垂心. 垂 直线与平面垂直的性质定理 03 观察① 如右图，在长方体中,棱所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系? 观察② 如右图，已知直线和平面 . 如果，那么直线一定平行吗? 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 在空间中是否有类似的性质呢 可以发现，这些直线相互平行 推理论证 已知： 求证： // 猜想：垂直与同一个平面