1.4.2 充要条件（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第 1 章集合与常用逻辑用语单元解读 1.4.2 充要条件 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． (重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件． (重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 学习目标 我国战国时期，墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述： 充分条件：“有之则必然，无之则未必不然” 必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ” 物理中的逻辑 古文中的逻辑 在①、②两个电路中，A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？ 思考 你能举生活中存在“充分条件或必要条件” 的逻辑语句或事例吗？ 思考 新课引入 充分必要 充要 互为充要 概念 下列各组命题中，哪些p是充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p q，所以p不是q的充要条件。 （2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。 （3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以p q,所以p不是q的充要条件。 （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。 典例1 1. 充要条件的判断 总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 1.“x>1”是“x＋2>3”的_______条件. 解析　当x>1时，x＋2>3； 当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件. 充要 练一练 2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：x2>0，q：x>0； 解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件. (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件. 练一练 已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切. （1）充分性( p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d. 若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)， 连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线 l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共 点P.所以直线l与 O 相切. （2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 典例2 2. 充要条件的证明 总结：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}， q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 3.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 练一练 13 设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}. 因为p是q的充分不必要条件， 所以A B，∴a＜1. 典例3 3. 充要条件的应用 由p是q的充分不必要条件，可知A B， 练一练 典例4 16 练一练 5.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其