1.4.2 充要条件（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第一章 集合与常用逻辑用语 教学内容 1.4.2充要条件 教学目标 学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 核心素养 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系,培养数学抽象的核心素养。 2．会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养。 教学重难点 重点：理解充要条件的含义； 难点：会证明充要条件的关系 学情分析 充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转化的逻辑基础，是今后学习数学推理的基础。学生在上一节已经学习了充分条件、必要条件的意义，学会了根据命题真假的判断方法，尝试由条件去推结论，从命题的条件与结论的互推关系，分析充要条件的含义，让学生逐渐习惯用数学思维研究数学结论。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 古文中的逻辑—— 我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述： 充分条件：“有之则必然，无之则未必不然” 必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ” 物理中的逻辑——    【思考】 在①、②两个电路中， A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？ 【思考】 你能举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？ 通过问题探究，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识. 新知讲授 【知识一：充要条件的判断】 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件. 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件． p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. p⇔s 通过问题探究，使学生深入理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。 例1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 练一练：指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件。 （2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p ⇔ q，所以p是q的充要条件。 （3）因为当xy >0时，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要条件。 （4）若，则，即；若，则，即，故， 所以p是q的充要条件． 解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件. 解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件. 通过例题及练习的学习，使学生理解条件与结论的推出关系，强化逻辑推理的核心素养。 【知识二：充要条件的证明】 例2.已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件. 总结：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}， q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q