第04讲 数列的通项公式（十六大题型）（课件）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 数列的通项公式 高考一轮复习讲练测 2024 01 02 03 04 目录 CONTENTS 考情分析 网络构建 知识梳理 题型归纳 真题感悟 01 PART ONE 考情分析 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 考点要求 考题统计 考情分析 （1）掌握数列通项的几种常见方法． 2023年 乙卷（文）第18题，12分 2023年甲卷第17题，12分 2023年II卷第18题，12分 高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查. 02 PART ONE 网络构建 03 PART ONE 知识梳理 题型归纳 【例1】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（    ）个球． A．12 B．20 C．55 D．110 【答案】C 【解析】由题意知： ， ， ， ， 所以． 故选：C 题型一：观察法 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．17 B．37 C．107 D．128 【答案】C 【解析】∵能被3除余2且被7除余2， ∴既是3的倍数，又是7的倍数， 即是21的倍数，且， ∴， 即， ∴． 故选：C． 题型一：观察法 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1， 所以对照四个选项，正确． 故选：D 【解题方法总结】 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 题型一：观察法 【例2】（2023·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，， ， 所以依此类推得， 所以 ． 又也符合上式， 所以符合题意的一个通项公式是． 故选：C． 题型二：叠加法 【对点训练3】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【解析】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以． 故选：D 【解题方法总结】 数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和 题型二：叠加法 【例3】（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 【答案】C 【解析】， ， 即， 可得， ． 故选：C． 题型三：叠乘法 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：A 【解题方法总结】 数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式 题型三：叠乘法 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式． 【解析】设， 所以， ∴ ，解得：， 又 ， ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ， ∴ ． 题型四：待定系数法 【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式． 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以数列是常数列0， 所以， 所以 ． 题型四：待定系数法 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求． 【解析】因为 所以两边同时加上得： ， 所以， 当时， 故，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 于是 故 【解题方法总结】 形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等