第十七章勾股定理——从勾股定理到图形面积的拓展 讲义 2022—2023学年人教版八年级数学下册

第十七章勾股定理《从勾股定理到图形面积的拓展》人教版八年级数学下册 教学目标： 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维． 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力. 教学重点：利用勾股定理，解决实际问题. 教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想. 教学过程： 引入：如图，已知△ABC的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中彩色部分的面积． 问题1：已知条件中三条边长有怎样的数量关系？ 问题2：从三边数量关系你得出△ABC是一个什么特殊三角形？为什么？ 根据勾股定理逆定理可得△ABC是一个直角三角形. 问题3：在中，分别以a，b，c为边向外作正方形，如图所示，则S1，S2，S3 有什么数量关系？ 根据勾股定理得 问题4：在中，分别以a，b，c为边向外做正三角形，如图所示，是否还存在？ 如图，作以AC为边的等边三角形的高h，因为等边三角形，易得: 同理 根据勾股定理，可得 问题5：类似地，上述结果是否适合其他图形，例如在，分别以a，b，c为直径向外作三个半圆，则成立吗？ 根据勾股定理可得 ，即 翻折 如图，已知△ABC的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中彩色部分的面积． 解：以5为直径的半圆面积为， 以12为直径的半圆面积为， 以13为直径的半圆面积为， 又 即 原题中阴影部分的面积为 课堂小结： 1.在任意直角三角形中，斜边上所画的任何图形的面积，等于在直角边上所画的与其相似的图形面积之和。 2.以直角三角形三边为对应边的相似图形之间的面积关系最终转化为直角三角形的三边数量关系。 课后作业： 如图，分别以的三边为边长作三个任意的图形，能使它们的面积满足. 配套练习 一、勾股数 1.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则四个小正方形的面积之和等于 . 2.如图，已知在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于 . 3.如图，已知为直角三角形，分别以直角边为直径作半圆和，以为直径作半圆，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，的面积为，则与的大小关系为 . 4.如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边，则图中阴影部分的面积为 . 5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，正方形，正方形，正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是 . 二、弦图 6.如图是“赵爽弦图”，其中，，和是四个全等的直角三角形， 四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设，取. (1)求正方形的面积以及四个直角三角形的面积和; (2)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $