微专题 例析数学知识中的逻辑推理讲义-2024届上海市高考数学复习

微专题 例析数学知识中的逻辑推理 【学生版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程。而逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，在数学学科中逻辑推理需要运用数学运算、空间想象、数学公式定理等数学基础知识，对相应的数学问题进行分析和推断； 常用的方法有归纳法和演绎法。证明方法有直接法和间接法。 典题例析 例1、关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号；如果只有一个假命题，则该命题是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【提示】； 【答案】； 【解析】 方法1、 方法2、 . 【说明】本题是基于数学知识的逻辑推理；考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断；此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化，生产生活等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理； 例2、已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则( )学习笔记 A． B． C． D． 【提示】； 【答案】 【解析】 【说明】本题主要考查了由归纳建立数列与周期的联系，在利用周期性解之； 例3、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第________张． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】此题主要考查了数字规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的； 例4、《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的序号是 学习笔记 ①由图1和图2面积相等得； ②由可得； ③由可得； ④由可得. 【说明】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得的表达式；根据图形及题意，得到的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力； 例5、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式.学习笔记 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具. 例如：在的条件下，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即，∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题 （1）已知如，求下列各式的值： ①___________. ②___________. （2）若，解方程. （3）若正数a､b满足，求的最小值 例6、对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.学习笔记 （1）若＞2，且，求的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当n＞1时，1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分） 【说明】本题考查了涉及数集、集合的基本性质、元素与集合的关系的证明；数学方法有：数学归纳法和反证法的应用；在高考