微专题 例析集合中的新定义问题讲义-2024届上海市高考数学复习

微专题 例析集合中的新定义问题 【学生版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆； 集合新定义问题的求解策略：对于新定义问题，首先，要透过现象看本质，考查的还是基础知识，所以新定义问题不一定是难题，要学会以不变应万变，解决此类问题分三步： 1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 2、细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近的知识点，明确它们的共同点和不同点； 3、对新定义中提取的知识点进行转换．如果是新定义的运算、法则，直接按照运算、法则计算即可；如果是新定义的性质，就要对性质进行适当的转换，也可用特殊值排除； 典题例析 例1、定义集合的商集运算为，已知集合， ，则集合中的元素个数为 A．5 B．6 C．7 D．8 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了与集合新定义相关的元素的求解，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题；解决集合新定义问题，注意的“三定”： 1、定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素； 2、定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题； 3、定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素； 例2、定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）学习笔记 A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了集合知识与新运算的交汇；关键是：明确集合的元素与转化新运算； 例3、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝（ ） A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1} 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了利用相关知识正确化简已知集合；然后理解新运算进行计算； 例4、设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．下列说法错误的是( 　　) A．若U＝{1,2,3,4,5,6}，则F＝{∅，{1,3,5}，{2,4,6}，U}是U的一个环 B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3,5}∈F D．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3]，[2,4]∈F 例5、对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________. 例6、当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的序号是 ①0是任何数域的元素 ②若数域F有非零元素，则2 023∈F ③集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域 ④有理数集为数域 例7、已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.学习笔记 ①若n＝3，则这样的集合A共有________个； ②若n为偶数，则这样的集合A共有________个． 方法归纳 　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： 1、准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． 2、方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解． 巩固练习 1、当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ） ①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则； ③集合是一个数域