微专题 例析充分必要条件的证明与探究讲义-2024届上海市高考数学复习

微专题 例析充分必要条件的证明与探究 【学生版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 充要条件的证明就是要确定命题中的条件和结论，再从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立；证必要性就是证原命题的逆命题成立； 当然，充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”；要注意条件与结论间的推出方向；证明“充要条件”一般应分两个步骤，加一个小结；即分别证明“充分性”与“必要性”；但是在证明过程中千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件；尽管在证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了； 典题例析 例1、已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0； 【提示】； 【证明】（1）充分性： （2）必要性： 由（1）（2）知； 【说明】充要条件的证明关键是根据定义确定什么是已知条件，什么是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题. 例2、设，求证成立的充要条件是； 【提示】； 【解析】； 【说明】本题考查互为充要条件的证明，证明过程中一定要做到讨论的不重不漏，要注意结合绝对值含义去绝对值，对于运算性质的掌握有一定要求； 例3、（1）叙述正弦定理；学习笔记 （2）在△中，应用正弦定理判断“”是“”成立的什么条件，并加以证明； 例4、若实数a，b满足a>0，b>0，证明“a>b”是“a+ln a>b+ln b”成立的充要条件； 例5、直线经过点且与抛物线交于两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，，证明：的充要条件是． 例6、已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”；学习笔记 （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值； 【说明】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决； 方法归纳 1、充要条件的证明思路学习笔记 （1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． （2）充要条件的证明问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可以先进行等价转换，然后加以证明． 【提醒】证明时一定要注意证明的方向性，理清原命题的条件与结论，再辨清充分性与必要性的证明方向； 2、探求充要条件的两种方法 （1）等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证； （2）非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，即从必要性和充分性两方面说明； 巩固练习 1、若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是(　　) A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1 C．a＝b＝2 D．a>1且b>1 2、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，条件“l，m，n共面”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．l∩m＝P，l∩n＝Q B．l，m，n两两相交 C．l∥m，l∥n D．l∥m，m∩n＝P 3、关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________． 4、设n∈N* ，n≥1，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________． 5、已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根均为整数的充要条件． 6、设.学习笔记 （1）求证：成立的充要条件是； （2）直接写出成立的充要条件（不要求证明）； 7、求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是. 8、若数列满足，则称数列为数列；学习笔记 记. (1)写出一个满足，且的数列； (2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说