第02讲 数列的证明和通项公式的四种求法-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第02讲 数列的证明和通项公式的四种求法 考法呈现 考法一：等差、等比数列基本量的运算 例题分析 【例 1】已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，． 求的通项公式； 满分秘籍 在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用. 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． 变式训练 【变式1-1】已知数列是等差数列，其前n和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； 【变式1-2】已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，． (1)求数列，的通项公式； 【变式1-3】已知正项等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； 【变式1-4】已知等差数列满足，，等比数列满足，． (1)求与的通项公式； 【变式1-5】已知等差数列满足，数列是以1为首项，公比为3的等比数列. (1)求和； 【变式1-6】已知是等差数列，，，且，，成等比数列. 求数列的通项公式； 考法二：等差、等比数列的证明 例题分析 【例2】已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于． (1)求的通项公式； (2)设，证明：数列为等差数列． 满分秘籍 证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 等比数列的四种常用判定方法 （1）定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列；（2）中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列；（3）通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列。 变式训练 【变式2-1】已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，. (1)证明：数列是等差数列， 【变式2-2】设数列的前项和为，且与的等差中项为. (1)证明：数列是等比数列； 【变式2-3】已知数列的前n项和为，且满足，是3与的等差中项． (1)设，证明数列是等比数列； 【变式2-4】已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； 【变式2-5】已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项积． 【变式2-6】已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； 考法三：累加法求数列的通项公式 例题分析 【例3】数列满足，且，求通项. 满分秘籍 当出现an＝an－1＋f(n)时，一般用累加法求通项． 变式训练 【变式3-1】已知数列满足，求数列的通项公式． 【变式3-2】已知数列各项均为正数，，，且. (1)若数列为等差数列，求数列的前项和； (2)若数列为等比数列，且数列不为等比数列，求数列的通项公式. 【变式3-3】数列中，，，求的通项. 考法四：累乘法求数列的通项公式 例题分析 【例4】已知数列的前项和为，且，是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)求. 满分秘籍 当出现＝f(n)时，一般用累乘法求通项． 变式训练 【变式4-1】已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式； 【变式4-2】在数列中，，求. 【变式4-3】已知数列中，． (1)求数列的通项公式； 考法五：已知Sn求数列的通项公式 例题分析 【例5】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 满分秘籍 通过Sn求an.已知数列{an}前n项和Sn. 则当n=1时 a1=S1 n≥2时 an=Sn-S(n-1) 变式训练 【变式5-1】设数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； 【变式5-2】设正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； 【变式5-3】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对任意，都有，使得成等比数列. 【变式5-4】已知是数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； 考法六：构造法求数列的通项公式 例题分析 【例6】已知：，时，，求的通项公式． 满分秘籍 构造法的常见类型一般有：①an＋1＝pan＋q(