第01讲 三角恒等变换和解三角形-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第01讲 三角恒等变换和解三角形 考法呈现 考法一：三角函数和三角恒等变换 例题分析 【例 1】（2023·北京·统考高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 满分秘籍 变式训练 【变式1-1】（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数 (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当，求函数的值域． 【答案】(1)函数的对称轴为，对称中心 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解； （2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域. 【详解】（1）因为， 令，解得； 令，解得； 所以函数的对称轴为，对称中心. （2）因为，则， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值； 所以函数的值域为. 【变式1-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数在区间上单调，其中，，且． (1)求的图象的一个对称中心的坐标； (2)若点在函数的图象上，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案. （2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果. 【详解】（1）由函数在区间上单调， 且，可知， 故的图象的一个对称中心的坐标为 （2）由点在函数的图象上， 有，又由， ， 可知函数在区间上单调递减， 由函数的图象和性质， 有， 又，有， 将上面两式相加，有， 有， 又由，可得， 则， 又由函数在区间上单调， 有，可得，可得， 故． 【变式1-3】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，，， (1)若，求的值； (2)若函数的最小正周期为 ①求的值； ②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2)①；②见解析. 【分析】（1）首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值； （2）首先根据周期公式求，并利用三角函数的性质求的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题，即可求解. 【详解】（1）依题意， ， 当时，， （2）①由（1）知， 最小正周期，得， ②当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为2， 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 当时， ，当时， ，当，即时，的最大值为0 不等式恒成立，即恒成立， 整理为，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，得， 综上可得，， 综上可知，当时，，当时，. 【变式1-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数. (1)求的值； (2)从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期. 【答案】(1)2 (2)详见解析 【分析】（1）代入公式即可求得的值； （2）选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数的周期和在上的最小值；选②时，利用二次函数性质即可求得函数在上的最小值，并直接得到函数的一个周期. 【详解】（1），则 （2）选①时， 由，可得， 则，则， 则当，即时函数取得最小值， 函数的周期为 选②时， 由，可得，则 则当或时函数取得最小值1， 函数的周期为. 【变式1-5】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量，其中，若函数的最小正周期为. (1)求的单调增区间； (2)在中，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果； （2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算