专题04 角平分线的性质（知识串讲+7大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

专题04 角平分线的性质 考点类型 知识串讲 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 考点训练 考点1：尺规作图——角平分线 典例1：（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在中，，．请用尺规作图法在上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，D为延长线上一点，E为的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）； ①作的平分线；②连接并延长交于点F． (2)猜想与位置和数量的关系，并说明理由． 【变式2】（2023·广东汕尾·校考二模）如图，点D在的边上，且． ． (1)作的平分线，交于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论． 【变式3】（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于点O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 考点2：角平分线的性质应用——证明线段 典例2：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：． 【变式1】（2023秋·河南安阳·八年级校考期中）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE． (1)求证：BE＝CD； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G． （1）求∠BGC的度数． （2）求证：GD＝GE． 考点3：角平分线性质应用——和差关系 典例3：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，平分．求证： (1)平分； (2)． 【变式1】（2023春·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）已知，如图，，，分别平分与，且，求证： 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明： ，分别平分与（已知） ，．（_______________） （_______________） （等量代换） （已知） _______．（_______________） （_______________） （_______________） 【变式2】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD＋AB． 【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 考点4：角平分线性质应用——面积问题 典例4：（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为外角的平分线的交点，，垂足分别为D，E，F． (1)求证：． (2)若四边形的面积为20，且，求的长． 【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，平分，于E，于F，且． (1)若，则　　． (2)若的面积是24，的面积是16，则的面积等于　 ． 【变式2】（2023秋·吉林·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点P，若，．回答问题： (1)P到的距离长为______，的周长为______； (2)求的面积． 【变式3】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，为的平分线，于点E，于点F，的面积是，求的长． 考点5：角平分线的判定 典例5：（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，交延长线于，于，，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的数量关系． 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线． 【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，和中，，，，连接，，与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2