专题2.13 实数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.13 实数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点2】实数概念的理解及分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【知识点3】实数的大小比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【知识点4】实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【考点一】实数➽➼概念理解★★实数的分类 【例1】课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     【答案】（1）甲；（2）正实数为，，负分数为 【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；（2）根据实数相关概念填空即可． 解：（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错； （2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、； 负分数为：． 【点拨】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． 【举一反三】 【变式1】有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点拨】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 【变式2】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【例2】用序号将下列各数填入相应的集合内． ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.14 （1）整数集合{                                       …}； （2）分数集合{                                       …}； （3）无理数集合{                                       …}． 【答案】（1）整数集合；（2）分数集合；（3）无理数集合． 【分析】根据实数的分类进行解答． 解：（1）整数集合； （2）分数集合； （3）无理数集合． 【点拨】本题考查实数的分类，属于基础题型，熟练掌握基础知识是关键． 【举一反三】 【变式1】在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：， ∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1