5.3 《应用二元一次方程组－鸡兔同笼》教案 (1) 2022-2023学年北师大版八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 5.3应用二元一次方程组－鸡兔同笼 一、教学目标 1．能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题． 2．经历和体验列方程组解决问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识． 二、教学重点及难点 重点：根据等量关系列二元一次方程组解应用题． 难点： 1．读懂古算题； 2．根据题意找出等量关系，列出方程． 三、教学用具 多媒体课件 四、相关资源 《鸡兔同笼问题》动画，《鸡兔同笼问题》图片，《以绳测井》动画。 五、教学过程 【情境导入】 例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 提问：（1）“上有三十五头”的意思是什么？下有九十四足呢？ （2）你能解决这个有趣的问题吗？ 设计意图：该问题是古代著名的“难题”，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，调动学生探究的欲望． 写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案． 【探究新知】 1．用一元一次方程求解 解：设有鸡x只，则有兔（35－x）只，得： 所以有鸡23只，兔12只． 2．用二元一次方程求解： 解：设有鸡x只，兔y只，则 ①×2，得 2x＋2y＝70 ， ③ ②－③，得：2y＝24，y＝12， 把 y＝12 代入①，得x＝23． 所以有鸡23只，兔12只． 设计意图：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性．这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能． 小结：列二元一次方程组解应用题的步骤 根据上面例题，总结列二元一次方程组解应用题的步骤： 1）审清题意，设未知数； 2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系； 3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组； 4）解二元一次方程组； 5）作答． 并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程． 设计意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤．学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力．另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能． 【典例精讲】 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？ 提问： 1．“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？ 2．“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？可以让学生演示． （此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程．） 小结题目大意：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？ 解：设绳长x尺，井深y尺，则 联立①，② ①－②，得：－＝4， ＝4， x＝48， 将x＝48 代入①，得 y＝11． 答：绳长48尺，井深11尺． 设计意图：题目遵循了由易到难的原则，突出建立方程组的各种策略。教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生能否顺利地列出正确的二元一次方程组。可以向学生提出“题目中的已知量、未知量是什么”，“各个量之间的关系是什么”等问题，使他们形成解决实际问题的一般性策略． 【课堂练习】 列方程解古算题： 1．今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？ （在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成．当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊共价值8两“金”，每头牛、每只羊各价值多少“金”？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程．） 解：设每头牛值“金”x 两，设每只羊值“金” y 两，则有方程： ①×2，得 10x＋4y＝20 ， ③ ②×5， 得 10x＋25y＝40 ， ④ ④－③， 得 21y＝20， 解得：y＝， 把 y＝ 代