4.2一次函数与正比例函数教案 2022-2023学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 2 一次函数与正比例函数 一、教学目标 1.经历一次函数概念的抽象过程，理解正比例函数和一次函数的概念，体会模型思想，发展符号意识. 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系. 3.能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式. 4.能利用一次函数解决简单的实际问题.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力. 二、教学重难点 重点：掌握正比例函数和一次函数的概念. 难点：能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 创设 情境 问题1：什么是函数？ 预设答案：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 追问： 表示函数的方法一般有哪些呢？ 预设答案：表示函数的一般方法有： 图象法、列表法和关系式法. 问题2：购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表： (1)y随x变化的关系y= ， 是自变量， 是 的函数； (2)当购买8支签字笔时，总价为 元. 预设答案：(1)3x；x；y；x.(2)24 问题3：求下列函数中自变量x的取值范围： 预设答案： (1)x取全体实数；(2)4x+8≠0，x≠–2； (3)x+3≥0，x≥–3；(4)x≥–1且x≠1. 学生举手，回答问题. 学生抢答. 学生举手，回答问题. 学生思考并举手回答问题. 为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了“复习旧知识，诱导新内容”的引入方法.问题1，3复习上节课的内容，问2是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识. 环节二 探究 新知 【探究】 情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg， 4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表： 预设答案：3； 3.5； 4；4.5； 5； 5.5 (2)你能写出y与x之间的关系吗？ 当x=0时，y=3； 当x=1时，y=3+1×0.5=3.5； 当x=2时，y=3+2×0.5=4； 当x=3时，y=3+3×0.5=4.5；... 它们之间的数量关系是：弹簧长度=原长+增加的长度，因此，x与y之间的关系式为：y=3+0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. (1)填写下表： 预设答案：0；6；12；18；24；36 (2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 预设答案：y=0.12x (3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 预设答案：z=60–0.12x 教师活动：上面的三个函数关系式，有什么共同点？y=3+0.5x y=0.12x z=60–0.12x 共同特点：(1)都是含有两个变量x，y的等式； (2)x和y的指数都是一次； (3)自变量x的系数都不为0. 【归纳】 若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数的结构特征： (1)k≠0； (2)x的次数是1； (3)常数项b可以为一切实数. 一次函数与正比函数的关系： 正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时) 【做一做】 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y=3πx； (2)y=8x–6； (3)y=； (4)y=2–8x；(5)y=5x2–4x+1；(6)y=8x2+x(1–8x). 解：(1)是一次函数，也是正比例函数； (2)是一次函数，不是正比例函数； (3)不是一次函数，也不是正比例函数； (4)是一次函数，不是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数； 已知y–2与x成正比例，且当x=1时，y=7，求y与x之间的函数关系式，并求出当x=–2时，y的值. 解：由y–2与x成正比例，设y–2=kx(k≠0)， 因为当x=1时，y=7， 所以7–2=k，得k=5， 所以y与x之间的函数关系式为y=5x+2. 当x=–2时，y=5×(–2)+2=–8， 所以当x=–2时，y的值是–8. 学生思考，回答问题. 学生思考，举手回答问