数列的通项及求和讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项及求和 一．常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出与或与,再代入公式或中即可. 2、 累加法 形如型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当为常数时，为等差数列，则； （2） 当为的函数时，用累加法. 方法如下：由得 当时，， ， ， ， 以上个等式累加得 （3）已知，，其中可以是关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若可以是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若可以是关于的二次函数，累加后可分组求和； ③若可以是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若可以是关于的分式函数，累加后可裂项求和求和. 3、 累乘法 形如型的的递推公式均可用累乘法求通项公式. 给递推公式中的依次取1,2,3，……，,可得到下面个式子： 利用公式可得： 4.奇偶分析法 (1) 对于形如型的递推公式求通项公式 ①当时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论. ②当为的函数时，由，两式相减，得到，分奇偶项来求通项. 1、数列满足，求的通项公式. 2、数列满足，求的通项公式. (2) 对于形如型的递推公式求通项公式 ①当时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论. ②当为的函数时，由，两式相除，得到，分奇偶项来求通项. 3.已知数列满足，求的通项公式 5.待定系数法（构造法） 若给出条件直接求较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1). (2) (3) (4) 4、已知数列满足求 二．数列求和的方法 【类型一：倒序相加法】 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． 例：设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求 的值为（ ） A． B． C． D． 【类型二：错位相减法求和】 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列． 【类型三：裂项相消法求和】 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 【类型四：并项求和法】 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例：已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和. 【提升五：分类讨论】 例：已知数列的前项和，数列中 （1） 求；（2）若，求的前项和 【跟踪训练】 1、数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于( 　　) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0 2、（1）已知数列中，，求 （2）数列中，，，则_________。 （3）数列中，，，则此数列的前2009项之和为________. 【类型六：求项的绝对值的和】 例：在等差数列中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前项和为. (1)求的最小值，并求出取最小值时的值． (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 3． 数列与函数不等式的综合应用 1．已知数列的前n项和为满足：． （1）求证：数列是等比数列； （2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2．设数列的前n项和为Sn，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列（i）求数列的前n项和Tn；（ii）求bn的最大值． 3．设数列的前项和为.已知,,. (1) 求的值；(2) 求数列的通项公式； (3) 证明:对一切正整数,有. 4．已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (1) 求数列的通项公式; (2) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 5．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，若=70，且成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：． 6．已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、 、恰为等比数列，且，，. （1）求数列的通项公式（用表示）； （2）设数列的前项和为, 求证： 学科网（北京）股份有限公司 $