专题1.3 用空间向量研究直线、平面的位置关系（四个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题1.3用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 重难点1直线的方向向量 1．已知向量，分别是直线､的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选）如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 6．若，分别为直线，的一个方向向量，则（    ）． A． B．与相交，但不垂直 C． D．不能确定 7．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_____，直线BC1的一个方向向量为_____. 重难点2求平面的法向量 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 9．已知，，，则平面的一个法向量是_____． 10．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为_____. 11．在长方体中，，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设对角面所在法向量为，则_____． 12．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_____. 13．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 14．四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量. 15．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在