1.3勾股定理的应用 教案2022-2023学年数学北师大版 八年级上册

第一章 勾股定理 1.3勾股定理的应用 一、教学目标 1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 2.能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形的理解和辨析能力. 3.培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识. 二、教学重点及难点 重点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题． 难点：立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题． 三、教学准备 圆柱几何体、多媒体课件 四、相关资源 相关图片 五、教学过程 【复习回顾】复习回顾，引入新课 1.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则有 . 2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则有 . 3. 已知∣-12∣+(-13)2+2-10z+25=0，试判断以、、为三边的三角形的形状. 设计意图：通过对三个题的练习回顾勾股定理及其简单应用，引出新课. 勾股定理可以解决直角三角形中边之间的数量关系，在生活中也可以利用勾股定理解决和我们生活相关的问题，我们这节课就来探索勾股定理的应用. 板书:3. 勾股定理的应用 【新知讲解】合作交流，探索新知 利用勾股定理求几何体表面的最短距离 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 小组合作交流，探索解决方案： ( A ’ A ’ A ’ ’ A ’ ’ ) （1） （2） （3） （4） 汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线． 师生活动：学生容易想到情形（1）和情形（2）中的路线，并计算出结果.但对于情形（3）和（4）的探究比较会出现困难，教师要适当引导，题型学生沿母线剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图： （1）中A→B的路线长为：． （2）中A→B的路线长为：>AB． （3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB． （4）中A→B的路线长为：AB． 得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题．沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，接下来后提问：怎样计算AB？ 在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3， 则． 设计意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 探究二：利用勾股定理解决实际问题 活动1：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ 解答：（2） ∴AD和AB垂直． 设计意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题． 活动2： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 析：这题学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程 解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺． 由勾股定理得：BC2+AC2=AB2． 即52+ x2=（x+1）2． 25+x2= x2+2x+1． 2x=24． ∴ x=12，x+1=13． 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 设计意图：勾股定理与方程相结合解决实际问题. 【典型例题】 1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的