专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求两直线的交点坐标】 1 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 2 【题型3 由直线的交点求参数】 3 【题型4 三线能围成三角形的问题】 3 【题型5 两点间的距离公式的应用】 4 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 5 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 5 【题型8 与距离有关的最值问题】 5 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求两直线的交点坐标】 【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（    ） A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10) 【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点求参数】 【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线与互相垂直，且交点为，则（    ） A．24 B．20 C．18 D．10 【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线，，构成三角形，则的取值范围是(　　) A． B．， C． D．， 【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2