1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课件（第1课时）-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1.能用向量表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离。 2.能用向量方法解决立体几何中相关的距离问题。 3.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算 一、复习导入 空间中的距离 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两点间的距离 二、新课讲授 1、用空间向量研究距离 问题1：如何用向量研究距离？ 距离 空间两点的距离 空间中其它的距离 向量的模 空间向量的模 投影向量/勾股定理 垂直 • P 问题2：如何用向量法求点到直线的距离？ •Q •A 设是直线的单位方向向量，A是直线上的点 分析：①求出||； ②求出到上的投影向量||； ③应用勾股定理求出PQ的长度。 设= 则向量在直线上的投影向量= ( 所以= ( 则|= | 所以== • P •Q •A 设是直线的方向向量，A是直线上的定点 分析：先求出的单位方向向量 设= 则向量在直线上的投影向量= ( 则|= | = | = 所以== 直线上的单位方向向量： 6 问题3：如何用向量法求两平行线之间的距离？需要具备哪些条件？ • P •Q •A 分析：转化为点到直线的距离 设是两直线的方向向量，A，P是分别是直线， 上的点 所以== 问题3：如何用向量法求空间中点到平面的距离？ • P •Q •A 设是平面α的法向量，A是平面α内的点 分析：转化为点到直线的距离 投影向量= (; |= | = | = 所以,点P到平面α的距离为： 根据定义，过点P作PQ⊥α，垂足为Q，垂线段PQ的长度为点P到平面α的距离 距离问题 图示 向量法距离公式 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 =| | == == |= | = 三、巩固新知 例6 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为线段A₁B₁的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC₁的距离； （2）求直线FC到平面平面AEC₁的距离 解:（1）以D₁为原点，以D₁A₁， D₁C₁， D₁D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1,0,1)，B(1, , )，C(0,1,1)， C₁(0,1,0)，E(0, , )，F(1, ,1) 所以=(0, , )， = (-1, 1, ) 直线AC₁的单位方向向量= = (-1,1,-1) 设= = (0,1,0) 则²= ， =， 所以点B到直线AC₁的距离为： == 11 解:（2）因为= =(-1， ，0)，所以FC∥ . 因为 ⊄ 平面AEC₁， ⊂平面AEC₁. 所以FC∥平面AEC₁. 所以点F到平面平面AEC₁的距离即为直线FC到平面平面AEC₁的距离. 设=(x,y,z)是平面AEC₁的法向量，则 所以 取z=1,则x=1，y,2 所以=(1,2,1)是平面AEC₁的一个法向量 有因为= (0， ，0)， 所以点F到平面AEC₁的距离为： = ||= 小结：用向量法解决距离的“三步曲” 1、将几何问题转化为向量问题：建立空间直角坐标系 2、进行向量运算：公式 3、回到图形问题：得到所求距离 四、课堂小结 1.空间中的距离问题. 2. 投影向量、勾股定理、向量数量积运算相结合. 3.距离的向量计算公式. 五、作业布置 课本P35：练习 第3题 $