数据统计分析专题复习讲义-2024届高三数学一轮复习

数据统计分析专题复习 一．基本内容 一．相关性检验 1.相关系数： 2.相关系数r的性质 （1）当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． （2）样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 二．线性回归与最小二乘法 1回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 2我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，其中 3残差的概念 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 4刻画回归效果的方式 （i）残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． （ii）残差平方和法：残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． （iii）利用刻画回归效果：决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差． 5.非线性回归常见模型 模型1 ，其中为常数. 将两边取对数，得，令，从而得到与的线性经验回归方程，用公式求即可，这样就建立了与非线性经验回归方程. 模型2 ，其中为常数. 令，则变换后得到与的线性经验回归方程，用公式求即可，这样就建立了与非线性经验回归方程. 模型3 ， 其中为常数. ，则变换后得到与的线性经验回归方程，用公式求即可，这样就建立了与非线性经验回归方程. 三．独立性检验 1．2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.独立性检验 （1） 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 . 忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． （2）独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)． 3.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 二．例题分析 例1.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0．05 0．05 0．07 0．07 0．06 0．6 材积量 0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9 并计算得，，． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 解析：（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值，样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为 （2） 则 （3）设该林区这种