22.2 二次函数与一元二次方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

22.2二次函数与一元二次方程（重难点） 【知识点一、 二次函数与一元二次方程的关系】 求二次函数（a≠0）的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于， 两点，且，此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点二、抛物线与直线的交点问题】 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线（a≠0）与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题． 抛物线（a≠0）与y轴的交点是（0，c）． 抛物线（a≠0）与一次函数（k≠0）的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程（组）的解的问题． 【知识点三、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解】 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2.确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； 3.在（2）确定的范围内，用计算器进行探索．即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【注意】 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： （1）直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； （2）先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； （3）将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根． 【知识点四、抛物线与不等式的关系】 二次函数（a≠0）与一元二次不等式（a≠0）及（a≠0）之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 题型一 求二次函数近似解 例1．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（　　） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.02 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式训练1-1】．某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）： x y 根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【变式训练1-3】．小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根， x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 … … －2 －0.68 －0.32 0.08 0.52 … 由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据图像确定解的范围 例2．如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】．已知二次函数的部分图像如图所示， 若， 则的取值的范围是（   ） A． B． 或 C． D． 【变式训练2-2】．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于 x的一元二次方程(t为实数)在的范围内有实数解，则 t的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式训练2-3】．如图，以直线为对称轴的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（    ）．    A． B． C． D． 题型三 抛物线与x轴交点的情况 例3．抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练3-1】．二次