2.3 垂径定理 教案2022-2023学年 湘教版数学九年级下册

2.3垂径定理教案 课题 2.3垂径定理 单元 第二章 圆 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1、理解圆是轴对称图形，由圆的折叠活动猜想垂径定理，并进行证明． 2、理解垂径定理，灵活运用垂径定理进行计算及证明． 3、在探索垂径定理的过程中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力. 重点 垂径定理及运用． 难点 应用垂径定理解决实际问题． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 知识回顾： 1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2、同学们知道赵州桥吗？1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)． 你能解决这个关于赵州桥的问题吗？ 回顾圆的对称性． 通过赵州石拱桥引入本课，激发学生学习兴趣，对学生进行爱国主义教育． 讲授新课 一、垂径定理的猜想与证明 1、请同学们剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E ，再将纸片沿着直径CD对折，请同学们比较AE与EB，与，与你能发现了什么结论？ 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，可以发现AE与BE重合，，分别与，重合． 即AE=BE，= ，=． 你能用所学过的知识证明你的结论吗？ 2、探究垂径定理的证明． 请同学们先画出图形，再根据图形写出已知、求证．小组讨论定理的证明过程． 已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点E． 求证： AE=BE，= ，=． 猜想是否正确，还有待于证明．请同学生们从以下两方面寻找证明思路． ①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明． ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明． 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 请同学们用所学的知识判断下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 垂径定理的几个基本图形： 二、垂径定理的逆定理的探究 在下列五个条件中： ①CD是直径；②CD⊥AB；③AM=BM；④； ⑤．只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．请试着写出这样的命题．你可以写出相应的命题吗？ 请小组讨论写出你的条件和结论，并写出用语言叙述的命题． 3、例1 如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O的直径CD的长． 例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 小组合作讨论：弦和圆心的位置关系有几种情况？根据讨论画出图形并证明结论． 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行． 求证：．　 请根据例2的证明归纳出结论． 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 三、应用垂径定理解决实际问题 如何解决“赵州桥”的问题： 如图，OA=OC=R， OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7． AD2+OD2=OA2． 即：18.72+(R-7.2)2=R2． R≈27.9(m)． 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m． 归纳：应用垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r，． 动手操作，发现并猜想． 小组合作对定理进行证明． 判断是否满足垂径定理． 完成例1、例2． 完成赵州拱桥的问题． 对垂径定理和弓形中的计算进行总结． 通过学生的动手操作发现并归纳出垂径定理． 通过定理的证明，培养学生的逻辑推理能力和合作探究精神． 进一步掌握垂径定理． 运用垂径定理进行计算及证明． 进一步理解和掌握二次函数y=a（x-h）2的图象和性质． 能应用垂径定理解决实际问题． 培养学生归纳总结的能力． 1、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm， 那么圆心O到弦AB的距离是________cm． 2、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是________cm． 3、半径为2 cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是________cm． 4、如图，已知AB为⊙O的直径，点D是弦AC的中点，BC=8 cm，求OD的长． 5、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8 cm，求直径AB的长． 6、如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r