2023年中考数学专题复习 专题2-将军饮马

将军饮马 【模型导入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 题型一 两个定点，一个动点（两定一动） 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。 【模型展示】 【模型一】两定一动之点点 在直线上找一点P，使得PA+PB的值最小． 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 例1．如图，正方形ABCD的面积是16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 . 例2．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ． 变式训练： 1、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值 ． 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　 　 A．3 B．4 C． D． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标． 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 一个定点，两个动点（一定两动） 【专题说明】 一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。 【模型展示】 【模型一】一定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 例3．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 【模型二】一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 例4．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　 A． B．2 C． D．4 变式训练： 1、如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α=（　　）. A．30° B．45°