13.4 最短路径问题　2023年暑假专题讲义　　人教版数学八年级上册

2023年暑假 专题13.4 最短路径问题（人教版） 【预习知识】 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【典例分析】 一、单选题 1．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 2．如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（  ） A．18 B．4 C．2 D．1 4．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 6．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（     ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．以上结论都不对 7．某市计划在公路旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是（　　） A．PA B．PC C．PB D．PD 9．如图，从A到B最短的路线是（ ） A． B． C． D． 10．如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（    ） A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm 11．如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 12．如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是(　　) A．13 cm B．6.5 cm C．30 cm D．6cm 13．如图所示,△ABC中,AB=AC,∠EBD=20°,AD=DE=EB,则∠C的度数为(　　) A．70° B．60° C．80° D．65° 二、填空题 14．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 15．如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ． 16．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段 修建，理由是 ． 17．已知一个等腰三角形的一边是6,另一边是8,则这个等腰三角形的周长是 . 18．如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是 ． 19．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其