第30讲　等比数列及其前n项和-2024高三一轮复习讲义

第30讲　等比数列及其前n项和 1、 基础知识 1.等比数列中的有关公式 已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则 等比数列定义式 　　　　　(q≠0且q为常数)  等比中项 =(G是x与y的等比中项) 通项公式 　　　　　　或　　　　　　　　　  前n项和公式 当q=1时,Sn=　　　　;  当q≠1时,Sn=　　　　　= 　　　　　  2.等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=　　　　=　　　　.  (2)若公比q≠-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成　　　　数列,其公比为　　　　.  3.等比数列与函数的关系 (1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=qn(q≠1),前n项和公式可以写成Sn=qn- (q≠1). (2)①当 或 时,{an}是递增数列; ②当 或 时,{an}是递减数列; ③当q=1时,数列{an}是常数列; ④当q<0时,数列{an}为摆动数列. 2、 常用结论 1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{},{an·bn},仍是等比数列. 2.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. 3.一个等比数列各项的k次幂仍构成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂. 4.若{an}为等比数列,a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. 5.在数列{an}中,当q≠0,q≠1时,其前n项和Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,此时k=. 3、 分类探究 探究点一　等比数列的基本运算 例1 (1)已知等比数列{an}中,a2=1,a5=-8,则{an}的前6项和为　　　　.  (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S4=2S3+1,2a4=2a3+3a2+2,则a1=　　　　.  [总结反思] (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对公比q=1和q≠1的分类讨论. 变式题 (1)已知{an}为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11= (　　) A.9 B.-9 C. D.- (2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4= (　　) A.7 B.8 C.15 D.16 (3)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层,每一层的数量是它下一层的2倍,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.已知该处共有1016个“浮雕像”,则正中间那层的“浮雕像”的个数为 (　　) A.508 B.256 C.128 D.64 探究点二　等比数列的性质 例2 (1)各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S20= (　　) A.10 B.30或-20 C.30 D.40 (2)已知等比数列{an}中,a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为 (　　) A.128 B.64 C.16 D.8 [总结反思] (1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,若可以灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=apaq”,则可减少运算量. (2)等比数列的项经过适当组合后构成的新数列也具有某种性质. 变式题 (1)已知等比数列{an}中,an>0,a5,a95为方程x2-10x+16=0的两根,则a20a50a80=(　　) A.32 B.64 C.256 D.±64 (2)已知各项都为正数的数列{an},对任意的m,n∈N*,am·an=am+n恒成立,且a3·a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=　　　　.  探究点三　等比数列的判定与证明 例3 已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn. (1)若数列{an}为等差数列,求Sn; (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列{an+bn}和{an-bn}均为等比数列. [总结反思] 判定一个数列为等比数列的常见方法: (1)定义法:若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列. (2)等比中项法:若=an·an+2(n∈N*),则数列{