第29讲　等差数列及其前n项和-2024高三一轮复习讲义

第29讲　等差数列及其前n项和 1、 基础知识 1.等差数列中的有关公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则 等差数列定义式 　　　　　　　(d为常数)  等差中项 A=　　　　(A是x与y的等差中项)  通项公式 　　　　　　　　或　　　　　　　　　  前n项和公式 Sn=　　　　　　=　　　　　　　  2.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an=　　　　=　　　　.  (2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成　　　　数列.  3.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an=　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的　　　　,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群　　　　的点.  注:当d>0时,{an}是　　　数列;当d<0时,{an}是　　　数列;当d=0时,{an}是　　　　　.  (2)前n项和公式可变形为Sn=　　　　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的　　　　　　,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的均匀分布的一群　　　　的点.  注:若a1>0,d<0,则Sn存在最　　　　值;若a1<0,d>0,则Sn存在最　　　　值.  2、 常用结论 等差数列的性质 1.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,Sn是{an}的前n项和,则有以下结论: (1){a2n}是等差数列,公差为 2d1. (2){pan+qbn}(p,q都是常数)是等差数列,且公差为pd1+qd2. (3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md1 的等差数列. (4)是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是d1 . (5)数列{pan},{an+q}(p,q都是常数)都是等差数列,且公差分别为pd1,d1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质: (1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=. (2)若项数为2n-1(n≥2),则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶= an,= . 3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则它们之间的关系为=. 3、 分类探究 探究点一　等差数列的基本运算 例1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=5,S4=24,则a9= (　　) A.-5 B.-7 C.-9 D.-11 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a3+a4=6,2a5=9,则S7= (　　) A. B.21 C. D.28 [总结反思] (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个. (2)解决等差数列问题的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d,有时为简化运算可不直接求a1,而是求出等差数列中与已知条件有关的某一项即可. 变式题 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=a7+1,a4+a7=4,则a10= (　　) A. B.4 C. D. (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和,2S3+S2=S4,a1=1,则S7= (　　) A.-77 B.-70 C.-49 D.-42 探究点二　等差数列的性质 例2 (1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=(　　) A.66 B.55 C.44 D.33 (2)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　) 图5-29-1 A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 (3)已知数列{an}与{bn}都是等差数列,且a1=1,b1=4,a25+b25=149,则数列{an+bn}的前25项和等于　　　　.  [总结反思] (1)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列;(2)已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和,则Sn,-Sn,S3n-,…也成等差数列,公差为n2d. 变式题 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且an≠0,若a5=3a3,则= (　　) A. B. C. D. (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为 (　　) A.9 B.12 C.16