2.4用因式分解法求解一元二次方程　自主学习同步练习题　　2023-2024学年北师大版九年级数学上册　

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 2．方程的解是（    ） A．， B．， C． D． 3．若菱形对角线的长是方程的根，则菱形的面积等于（    ） A．15 B． C．8 D．4 4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10或8 B．10 C．8 D．12 5．已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则方程可化为（    ） A． B． C． D． 6．若，是两个实数，定义一种运算“△”，，则方程 的实数根是（　　）． A．， B．， C．， D．， 7．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A．48 B．24 C．48或 D．24或 8．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程的解是________________． 10．方程的根为_________________． 11．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则a的值为______． 12．一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程的根，则三角形的周长为________． 13．若实数、满足，则________． 14．已知关于x的方程①与②，若方程①的一个根是方程②的一个根的2倍，则________． 15．菱形的一条对角线长为6，边的长为一元二次方程的一个根，则菱形的另一条对角线长______． 16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： ． 理解运用：如果，那么，即有或， 因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：求方程的解为______． 三、解答题 17．解下列一元二次方程． (1) (2) 18．解方程： (1) (2) 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求k的值． 21．阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 参考答案 1．解：， ∴， 即， ∴，， 故选：C． 2．解：移项，得， 则， ∴或， ∴，． 故选：A． 3．解：， ， 则或， 解得，， 菱形的面积等于， 故选： B． 4．解：解方程得：或2， ①当等腰三角形的三边为2，2，4时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去； ②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是， 故选：B． 5．解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴方程化为． 故选：D． 6．解：∵， ∴， 移项得， ， 提公因式得， ， 或 ， 所以，， 故选：A． 7．解:解方程得， 当6和8分别为直角三角形的直角边时，面积为； 当8为斜边，6为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为； 则该直角三角形的面积是24或， 故选：D． 8．解：设，则变为： ， ∵一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程的两根分别为， ∴或者， 解得． 故选：B 9．解: 即：， 解为：， 故答案为：． 10．解： ， ， ∴，， 故答案为：，． 11．解：把代入方程得：， ， 可得或， 解得：或， 当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为2． 故答案为：2． 12．解：解方程得， ∵第三边的边长， ∴第三边的边长为3． ∴这个三角形的周长是． 故答案为：． 13．解：设，则， 原式化为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，， ∵， ∴，即， 故答案为：3． 14．解：设的一个根为， ∴， ∵方程①的一个根是方程②的一个根的2倍， ∴的一个根为， ∴， ∴， 解得：， ∵有实根， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．解：， 或， ，， 菱形的一条对角线长为6， 的长为5， 另一条对角线长为． 故答案为：8． 16．解：解法一：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴或或， 解得：或或； 解法二：， ， ， ， ， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：，，． 17．（1）解：因式分解可得， ， ∴或， 解得：，， 故方程的解为： ，； （2）解：移项得， ， 因