2.4轴对称图形-角平分线综合问题 2022-2023学年苏科版八年级上册

角平分线综合问题 1.中考地位：角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带·角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助。 2.内容介绍：本专题分为3个知识模块和一份课后巩固练习，其中每个知识模块有一道例题和1-3个变式题，并且每道题目之后都标有星级难度，从1星到最高5星，在使用过程中，要灵活变通。教学过程中，要循序渐进，设问引思，可以与学生一起探索讨论，让学生亲自动手练习，最后再归纳总结。 3.角平分线综合问题复习教学的注意点 （1）吃透概念、精致运算，练好“基本功”； （2）摸清“套路”，求同存异，提高“解题术”； （3）高观点助力，拓展“思维力”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 角平分线综合问题 题型1: 平行线中的角平分线综合问题 例题★★如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________； （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE； （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 变式1：★★ 1．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ． (2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数． (3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间． 变式2：★★ 2．已知，直线ABCD，与交于点． (1)如图1，，则_________°； (2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）． 题型2: 内外角平分线综合问题 例题★★已如在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 变式1：★★ 1．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G. (1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= ° (2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °； (3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示) (4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示) 变式2：★★★ 2．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°； ②如图3，平分，平分，若，，则______°； ③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 变式3：★★★ 3．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． (1)如图，连接CE． ①若CEAB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． (2)若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数． 题型3: 8字型中的角平分线综合问题 例题★★★图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与C