2.2 基本不等式（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 【基本不等式(或)均值不等式】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 重难点突破(一) 基本不等式的简单应用 例1.（1）、（2023·高一课时练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 （2）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1-1】、（2022秋·高一课时练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 重难点突破(二) 利用基本不等式求最值 例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______. （2）、（2020秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知，则的最小值为______. 【变式训练2-1】、（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【变式训练2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换 例3.（1）、（2023·高一单元测试）设，且，则的最小值为__________． (2) 、（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______． 【变式训练3-2】、（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧 例4、（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）若正实数， 满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【变式训练4-1】、（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 例5、（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【变式训练5-1】、（2021秋·高一单元测试）（1）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围． （2）已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：． 重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用 例6、（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，