2.1 等式性质与不等式性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 考点1 不等式的基本性质 考点2 常用的结论 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 考点3 作差比较法的四个步骤 重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假 例1．（1）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断. 【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误； 对于B，由，若，则，故B错误； 对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确； 对于D，取，满足条件，但，故D错误. 故选：C. （2）、（2022秋·高一课时练习）已知均为实数，有下列说法: ①若，则; ②若，则; ③若，则; ④若，则. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③ 【分析】用特殊值结合不等式的性质即可判断. 【详解】①用特殊值法检验．令，有，故①错误； ②当时，有，故②错误； ③当时，有，从而，故③正确； ④当时，显然有，故④错误．综上，只有③正确. 故答案为：③ 【变式训练1-1】、（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD. 【详解】对于A，，由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，，取，所以，故B不正确； 对于C，，若，则，故C不正确； 对于D，，取，故D不正确. 故选：A. 【变式训练1-2】、（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解. 【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确； 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误； 对于C选项，当时，，所以C错误； 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD． 重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小 例2．（1）、（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）比较大小：__________. 【答案】 【分析】利用作差法比较即可 【详解】因为， 所以 故答案为：. （2）、（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）设，，则有_______.（请填“<”、“=”、“>”） 【答案】< 【分析】利用作差法与配方法即可得解. 【详解】因为，， 所以， 故. 故答案为：<. 【变式训练1-1】、（2023·高一课时练习）比大小：_____． 【答案】> 【分析】对，两边平方，再做差比较大小可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练1-2】、（2022秋·高一单元测试）设， ，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作差法判断两式大小. 【详解】，∴. 故选：A. 重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围 例3．(1)、（2023·高一课时练习）已知，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围. 【详解】由题意， 在中， ∵， ∴，解得：， 故答案为：. (2)、（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】因为， 由，所以， 由，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出． 【详解】设，即， ∴，解得. ∴， ∵，∴①， ∵，∴②， ①②，得，即的取值范围. 故答案为：. 【变式训练3-2】、（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式 例4、（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）（2）利用作差法判断即可. 【详解】（1） ， ∵，∴，又，∴， 所以. （2）∵， 又∵，， ∴当时，，所以； 当时，，所以； 当时，