第08讲 2.4.2圆的一般方程(10 类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 2.4.2圆的一般方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题. 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据二元二次方程表示圆的条件， 对于A中，方程，可得， 所以方程是圆的一般方程； 对于B中，方程，可得， 所以方程不是圆的一般方程； 对于C中，方程中，和的系数不相等， 所以方程不是圆的一般方程； 对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程. 故选：BCD. 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______． 【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______. 题型02求圆的一般方程 【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______． 【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)外接圆的一般方程. 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2 【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程. 【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________. 【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______. 题型05圆过定点问题 【典例1】（