2.2一元二次方程的解法（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

2.2 一元二次方程的解法（重难点） 【知识点一、直接开平方法】 形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程. 如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程化成的形式，那么. 注意：（1）等号左边是一个数平方的形式而等号右边是一个非负数. （2）降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程. （3）方法是根据平方根的意义开平方. 【知识点二、配方法】 1、将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成的形式； （2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数， 则判定次方程无实数解. 【知识点三、公式法】 1、一元二次方程，当时，方程有实数根， 叫做一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 2、用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定的值（注意符号）； （2）求出的值（若，方程无实数根）； （3）在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根； 注意：用公式法的前提是：（1）；（2）. 【知识点四、因式分解法】 1、用公式法解一元二次方程的步骤： （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2、常用因式分解的方法： 提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法等. 考点1 解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 【变式1-1】（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则 ． 【变式1-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)． （1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ； （2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ． 【变式1-4】（2023春·全国·八年级专题练习）求下列各式中的x： (1)； (2)． 考点2 解一元二次方程——配方法 【例2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是（    ） A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 【变式2-3】（2023·江苏淮安·统考二模）对于实数，定义新运算“”：，如．若，则实数x的值是 ． 【变式2-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：． 考点3 解一元二次方程——公式法 【例3】（2023春·浙江·八年级专题练习）用公式法解下列方程：． 【变式3-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． (3)． 【变式3-3】（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程： （1）；             （2）； （3）；       （4） （5）；             （6）． 【变式3-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 考点4 解一元二次方程——因式分解法 【例4】（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）已知实数满足，则代数式的值是(  ) A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3 【变式4-1】（2023秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（      ） A．1或4 B．-1或-4 C．-1或4 D．1或-4 【变