1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（七大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角. 3．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. 4．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小 知识点一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为_____；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是_____或_____的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为_____；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于_____的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其_____． 考点01 点到直线的距离 1．已知空间中三点，则点A到直线的距离为_____． 2．已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为_____. 3．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为_____． 6．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为_____. 7．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点02 点到平面的距离 8．已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_____. 9．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ） A． B．4 C． D． 10．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E． (1)证明：； (2)求点E到平面的距离． 11．已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为（   ） A．10 B．3 C． D． 12．如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，，E为AC的中点，F为AD的中点．    (1)证明：平面BEF⊥平面ABC； (2)求多面体BCDFE的体积． 13．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 14．在棱长为的正四面体中，为上的一点，且，为的中点，则点A到平面的距离为 _____． 考点03 直线到平面、平面到平面的距离 15．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 16．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 17．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 18．已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 考点04 求异面直线所成的角 19．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是_____. 20．在直三棱柱中，所有的棱长都相等，为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为_____. 21．三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是_____. 22．在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 24．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 25．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 考点05 求直线与平面所成的角 26．已知长方体中，，为侧棱上的一点，且，则直线与平面所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 27．如图