4.4 对数函数-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

4.4　对数函数 【知识梳理】 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 知识点四　反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 【基础自测】 1．函数y＝的定义域是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 2．已知<<0，则(　　) A．n<m<1 B．m<n<1 C．1<m<n D．1<n<m 3．函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________. 4．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________． 5．函数f(x)＝ln(1－2x)的单调减区间为____________． 【例题详解】 一、对数函数的概念及应用 例1　(1)下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． (2)若对数有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． (3)已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________. 跟踪训练1　(1)已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ (2)已知对数函数的图像过点，则_________． 二、与对数函数有关的定义域 例2　(1)函数的定义域为（　　） A． B． C． D． (2)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)已知集合A={x|y=}，B={x|y=ln|x-1|}，则A∩B=（    ） A．{x|x≥0} B．{x|x>1} C．{x|0≤x<1或x>1} D．{x|0≤x<1} (2)函数的定义域为__________. 三、对数函数的图象问题 例3　(1)若，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． (3)将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． (4)幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________. 跟踪训练3　(1)函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 (2)在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． (3)已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则______. 四、比较大小 例4　(1)已知，则（    ） A． B． C． D． (2)比较下列各组值的大小： ① ②log1.51.6， log1.51.4； ③log0.57， log0.67； ④log3π， log20.8. 跟踪训练4　(1