专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 3 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 4 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 5 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6 【题型7 求直线的方向向量】 7 【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 7 【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点，且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程表示（    ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【知识点2 直线的两点式、截距式方程】 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线过点， 则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（