第4章 专项8 相似三角形的常见模型（PPT课件）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

九年级数学 北师版（上册） 第四章　图形的相似 专项8　相似三角形的常见模型 C A C B “A”字型　　 eq \o(\s\up15(),\s\do5(（DE∥BC）)) 　　　　 eq \o(\s\up30(),\s\do15(\a\vs4\al(（DE与BC不平行，,其中∠AED＝∠B）))) (四川凉山州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(2,3) ，DE＝6 cm，则BC的长为(　　) A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm [解析]∵ eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(2,3) ，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,5) .∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴ eq \f(6,BC) ＝ eq \f(2,5) ，∴BC＝15 cm.故选C. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD∶AC＝DF∶CG. 求证：(1)AG平分∠BAC； (2)EF·CG＝DF·BG. 证明：(1)∵∠DAE＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADE＝∠C. 在△ADF和△ACG中， ∵AD∶AC＝DF∶CG，∠ADE＝∠C， ∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF＝∠CAG， ∴AG平分∠BAC. (2)在△AEF和△ABG中， ∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△AEF∽△ABG，∴ eq \f(AF,AG) ＝ eq \f(EF,BG) . 由(1)知△ADF∽△ACG，∴ eq \f(DF,CG) ＝ eq \f(AF,AG) ， ∴ eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(DF,CG) ，∴EF·CG＝DF·BG. “8”字型　　 eq \o(\s\up15(),\s\do5(（AB∥CD）)) 　　　　 eq \o(\s\up50(),\s\do25(\a\vs4\al(（AB与CD不平行，,其中∠ABJ＝∠CDJ）))) (陕西渭南期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，F是BA延长线上一点，FD⊥BC于D，交AC于点E，则图中相似三角形共有(　　) A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 [解析]∵ED⊥BC，∴∠CDE＝∠BDF＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠CDE＝∠EAF＝90°.∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠AEF＝∠DEC，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC，∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽ △DBF，故共有6对相似三角形，故选A. 如图，已知正方形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，连接CE，DG，BD.线段CE分别交BD，DG于点F，H. (1)求 eq \f(EF,EC) 的值； (2)求 eq \f(FH,CH) 的值． 解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝ eq \f(1,2) AD. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∴DE＝ eq \f(1,2) BC，△DEF∽△BCF， ∴ eq \f(EF,CF) ＝ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(EF,EC) ＝ eq \f(1,3) . (2)∵G是BC的中点，∴CG＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) AD， ∴CG＝DE. ∵AD∥BC，∴△DEH∽△GCH， ∴ eq \f(EH,CH) ＝ eq \f(DE,GC) ＝1，∴EH＝CH＝ eq \f(1,2) EC. 由(1)得 eq \f(EF,EC) ＝ eq \f(1,3) ，即EF＝ eq \f(1,3) EC， ∴FH＝EH－EF＝ eq \f(1,6) EC， ∴ eq \f(FH,CH) ＝ eq \f(\f(1,6)EC,\f(1,2)EC) ＝ eq \f(1,3) . ∴ eq \f(FH,CH) ＝ eq \f(\f(1,6)EC,\f(1,2)EC) ＝ eq \f(1,3) . 旋转型　　 　　　 eq \a\vs4\al(若∠1＝∠2，∠B＝∠D，,则△ADE∽△ABC) (福建福州鼓楼模拟)如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝CB，AE＝ED.连接BD，CE.当点D在△ABC内，且B，D，E三点共线时，设DE交AC于点O，则图中与△OCE相似的三角形(不包括△OCE)共有(　　) A．0个 B