第4章 5 相似三角形判定定理的证明（PPT课件）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

九年级数学 北师版（上册） 第四章　图形的相似 *5 相似三角形判定定理的证明 A 相似三角形判定定理的证明　　 已知，如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(AC,A′C′) . 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：如答图，在BA的延长线上取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E. 由判定定理1，易知△ABC∽△ADE，则 eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) . 又∵ eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，AD＝A′B′，∴ eq \f(AC,AE) ＝ eq \f(AC,A′C′) ， ∴AE＝A′C′.又∵∠A′＝∠BAC＝∠DAE， ∴△A′B′C′≌△ADE. 故△ABC∽△A′B′C′. 如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足分别为点D，E. (1)求证：△ACD∽△ABE； (2)若将点D，E连接起来，则△AED与△ABC相似吗？说明你的理由． (1)证明：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 又∵∠CAD＝∠BAE，∴△ACD∽△ABE. (2)解：△AED∽△ABC.理由如下： 如答图，连接DE.由(1)知，△ACD∽△ABE， ∴ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(AC,AB) ，即 eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AE,AB) . 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC. 等积式的证明　　 如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG⊥AP，垂足为点G，交CE于点D，求证：CE2＝PE·DE. 证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠CEB＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE. ∴ eq \f(CE,BE) ＝ eq \f(AE,CE) ，即CE2＝AE·BE. 又∵BG⊥AP，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°. 又∵∠PDG＝∠BDE，∴∠P＝∠DBE， ∴△AEP∽△DEB. ∴ eq \f(PE,BE) ＝ eq \f(AE,DE) ，即PE·DE＝AE·BE. ∴CE2＝PE·DE. (题型1变式)如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有________对． 4　[解析]∵AD∥BC，∴△ADG∽△ECG①.又∵AB∥CD，∴△ECG∽△EBA②，∴ADG∽EBA③.由平行四边形的性质可得△ABC∽△CDA④，共有4对相似三角形． (题型2变式)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(　　) A． eq \f(AF,FD) ＝ eq \f(BG,GC) B． eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(EF,CD) C． eq \f(CG,BG) ＝ eq \f(AF,AD) D． eq \f(EF,CD) ＝ eq \f(EG,AB) [解析]∵EF∥BC，∴ eq \f(AF,FD) ＝ eq \f(AE,EC) .∵EG∥AB，∴ eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(BC,CG) ，∴ eq \f(AF,FD) ＝ eq \f(BG,GC) .故选A. $