第4章 3 相似多边形（PPT课件）-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测（北师大版）

九年级数学 北师版（上册） 第四章　图形的相似 3 相似多边形 B A C B 相似多边形定义　　 下列说法中，正确的个数是(　　) ①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似． A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]矩形的每个角都等于90°，即对应角相等，但对应边不一定成比例，所以④不正确；菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，所以⑤不正确．易知①②③正确． (河北石家庄期末)如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是(　　) A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 [解析]矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2∶3，1.5∶2＝3∶4，2∶3，∴甲与丙相似．故选A. 相似多边形的相似比　　 已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5.则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为(　　) A．3∶4 B．3∶5 C．4∶3 D．5∶3 [解析]∵四边形EFGH∽四边形ABCD，∴相似比为 eq \f(EF,AB) ＝ eq \f(4,3) . 如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，则相似比等于________. eq \r(2) ∶1　[解析]∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴ eq \f(AB,EA) ＝ eq \f(AD,AB) .又∵E为矩形ABCD的边AD的中点，∴AE＝ eq \f(1,2) AD，∴ eq \f(AB,\f(1,2)AD) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴AD2＝2AB2.∴AD＝ eq \r(2) AB，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(\r(2)AB,AB) ＝ eq \r(2) ，∴矩形ABCD与矩形EABF的相似比为 eq \r(2) ∶1. 相似多边形的性质的应用　　 (河南南阳期中)若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 [解析]设这个多边形的最短边长为x.∵两个多边形相似，∴ eq \f(24,6) ＝ eq \f(x,2) ，解得x＝8.故选B. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则a ∶b＝________． 2∶1　[解析]对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为 eq \f(1,4) a，∵小矩形纸片与原矩形纸片相似，∴ eq \f(a,b) ＝ eq \f(b,\f(1,4)a) ，又∵a>0，b>0， eq \f(a,b) ＝2，即a∶b＝2∶1. (题型1变式)如图，点G是正方形ABCD的对角线AC上的一点，过点G作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°. ∵GE⊥AD，GF⊥AB， ∴∠GEA＝∠GFA＝90°. ∴四边形AFGE是矩形． ∵点G是正方形ABCD的对角线AC上的一点， ∴AG平分∠BAD. ∴GE＝GF.∴四边形AFGE是正方形． ∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(FG,BG) ＝ eq \f(GE,CD) ＝ eq \f(AE,AD) . 且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠B，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠D. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似． (题型2变式)在AB＝30 m，AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为x，y(y>x)，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由． 解：(1)不相似，理由如下： 若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似， 则 eq \f(30＋2x,30) ＝ eq \f(20＋2x,20) ，解得x＝0. 因为小路的宽不能为0 m， 所以矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似． (2)当小路的宽x与y的比值为 eq \f(2,3) 时， 矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似． 理由如下： 当矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似时， eq \f(20＋2x,20) ＝ eq \f(30＋2y,30) ，解得 eq \f(x,y) ＝ eq \f(2,3) . 所以当小路的宽x与y的比值为 eq \