专题04 导数及其应用-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题04 导数及其应用 目录一览 2023真题展现 考向一 导数与单调性 考向二 利用导数研究函数的极值、最值 真题考查解读 近年真题对比 考向一 导数的运算 考向二 利用导数研究函数的极值、最值 考向三 利用导数研究曲线上某点切线方程 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 导数与单调性 1．（2023•新高考Ⅱ•第6题）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　） A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2 考向二 导数与极值、最值 2．（2023•新高考Ⅱ•第11题）（多选）若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0 【命题意图】 考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值最值、函数零点问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想． 【考查要点】 函数与导数是高考必考知识点，考查运用函数的导数解决问题：求切线方程、单调区间、极值最值、零点等． 【得分要点】 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或 递减）的。 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立； ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 2.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 考向一．导数的运算 （多选）1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（　　） A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2） 考向二 利用导数研究函数的极值 （多选）2．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 考向三．利用导数研究曲线上某点切线方程 3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　 　． 4．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 　 　，　 　． 5．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（　　） A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea 6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是 　 　． 从近三年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。 一．变化的快慢与变化率（共2小题） 1．（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）之间的关系为d（t）＝10+4cost，则下午5：00时刻该固