3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习

一、单选题

1．椭圆和（    ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同

2．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

3．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）．

A． B．

C． D．

4．已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

5．已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（　　）

A．6 B．8 C．3 D．2

6．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）．

A． B．

C． D．

7．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素，如我们熟悉的符号．我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”．若点是轨迹C上一点，则下列说法不正确的是（    ）

A．曲线C关于原点O中心对称                 B．的取值范围是

C．曲线C上有且仅有一个点P满足     D．的最大值为

8．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．

C． D．

10．天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆，如图所示，记两个行星的运行轨道分别为椭圆，，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短

B．椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍短

C．椭圆的离心率大于椭圆的离心率

D．椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比

11．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4

C．的最大值为3 D．的最大值为

12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为,焦距为，离心率为，P为椭圆左半边上一点，连接交y轴于点N，，其中O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为3                             B．

C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为    D．点P到x轴的距离为

三、填空题

13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为      .

14．一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为          ．

15．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，则直线PA，PB的斜率之积为        ．

16．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为      .

四、解答题

17．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

(1)求直线PA与PB的斜率之积；

(2)任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

18．已知椭圆E:过点，且左，右焦点分别为，，直线y=kx与椭圆交于A，B两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若椭圆上一动点，使得，求点P的横坐标x的取值范围.

(3)设为椭圆上一点，且直线NA的斜率，试求直线NB的斜率的取值