专题14 旋转在几何模型中的应用-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学八年级下暑假预习专题训练 专题十四 旋转在几何模型中的应用 【专题导航】 目录 【考点一 手拉手模型中的旋转】.......................................1 【考点二 对角互补模型中的旋转】.....................................4 【考点三 角含半角模型中的旋转】.....................................7 【聚焦考点1】 手拉手模型 遇见平方等式，要用手拉手模型； 构造等腰直角三角形，构造全等三角形，等量代换是解题三要素。 等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。 鸡爪图，三线段，绕着顶点转一转. 【典例剖析1】 【典例1-1】[问题提出] （1）如图①，均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图②中证明． [学以致用] （2）在（1）的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度． [拓展延伸] （3）在（1）的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围． 【典例1-2】如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H． (1)如图1，当点G在上时，求证：； (2)将正方形绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明； ②当时，若，请直接写出线段的长． 针对训练1 【变式1-1】如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M （1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为　 　° （2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为　 　° （3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD，并图3进行证明；若不确定，说明理由． 【变式1-2】观察猜想 如图1，有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角尺叠放在一起，点B在AD上，点C在AE上. （1）在图1中，你发现线段BD，CE的数量关系是___________，直线BD，CE的位置关系是________. 操作发现 （2）将图1中的绕点A逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由； 拓广探索 （3）如图3，若只把“有公共直角顶点A的两个不全等的等腰直角三角尺”改为“有公共顶角为∠A（锐角）的两个不全等等腰三角形”，绕点A逆时针旋转任意一个锐角，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由. 【能力提升1】 【提升1-1】如图，在中，，D、E分别是、的中点，. （1）如图1，若，求的长度（用含a的代数式表示）； （2）如图2，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接、，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当的外心在三角形的外部时，请直接写出的取值范围． 【提升1-2】已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数 【聚焦考点2】 对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。 【典例剖析2】 【典例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________． 【典例2-2】感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 针对训练2 【变式2-1】已知∠MAN，AC平分∠MAN. （1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC； 在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【解】 （2）在图3中：（只要填空，不需要证明）. ①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC； ②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）． 【变式2-2】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC