专题12 中心对称-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学八年级下暑假预习专题训练 专题十二 中心对称 【专题导航】 目录 【考点一 中心对称、中心对称图形】...........................1 【考点二 中心对称的性质】....................................3 【考点三 关于原点对称的点的坐标】...........................6 【聚焦考点1】 中心对称、中心对称图形 中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点. 如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点. 中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上. 联系 （1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的. （2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称 【典例剖析1】 【典例1-1】下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形 【典例1-2】如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE． （1）图中哪两个图形成中心对称？ （2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积． 【典例1-3】图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（　　） A． ① B．② C．③ D．④ 针对训练1 【变式1-1】下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【变式1-2】国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形( ) A． B． C．4 D．0 【能力提升1】 【提升1-1】抛物线y＝2x2－4x＋5绕它的坐标原点O旋转180°后的二次函数表达式为________． 【提升1-2】如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是　 　． 【提升1-3】如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A, 点B的坐标为（0，-3），线段AB绕点P旋转180°， A,B的对应点C,D均落在抛物线上，则点P的坐标为　 　 【聚焦考点2】 中心对称的性质： 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2.中心对称的两个图形是全等图形. 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 【典例剖析2】 【典例2-1】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，求证：四边形ADCF是矩形． 【典例2-2】如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为 　　． 【典例2-3】数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题： 如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． （1）求