专题1.1 空间向量及其运算（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题1.1空间向量及其运算 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 重难点1空间向量的线性运算 1．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 2．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：. 3． 在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．    4．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.    6．如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证： . 7．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点2共线问题 8．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数_____； 9．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则_____． 10．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 11．已知，. （1）若与的方向相同，且，则λ的值为_____； （2）若与的方向相反，且，则λ的值为_____. 12．已知是空间的一个基底，下列不能与，构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 13．已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为_____. 14．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 15．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 重难点3向量的共面问题 16．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 17．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则_____． 18．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 19．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面． 20．，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为_____. 21．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 22．若{，，}构成空间的一个基